Áudio

Tuner

Afinador de trompete que roda no navegador. Identifica a nota pelo microfone com o método de McLeod (MPM) e explica, passo a passo, a matemática por trás.

Nenhuma nota detectada

— Hz— cents

Ligue o microfone e toque uma nota.

Referência (Lá4)440 Hz

Notação

Si♭ (nota escrita) Concerto (nota real)

Forma de onda (domínio do tempo)

Como funciona: a matemática por trás

Aqui explico, com rigor mas sem mistério, todo o caminho do som até a nota. As fórmulas estão na notação de verdade, mas cada uma vem com a ideia intuitiva, um exemplo numérico e, em vários pontos, um experimento interativo para você mexer e ver acontecer.

1. Do som ao sinal: amostragem

O som é uma variação contínua da pressão do ar no tempo, uma função $p (t)$ . O microfone mede essa pressão muitas vezes por segundo. Essa taxa é a frequência de amostragem $f_{s}$ : no navegador, normalmente 44,1 kHz ou 48 kHz, conforme o aparelho (o afinador acima mostra a do seu enquanto o microfone está ligado). Nos exemplos deste texto, uso $f_{s} = 44100$ Hz. O resultado é uma sequência de números $x [n]$ :

\begin{matrix} x [n] = p (\frac{n}{f_{s}}) \\ n = 0, 1, 2, \dots, N - 1 \end{matrix}

Trabalho com blocos de $N = 2048$ amostras. A 44,1 kHz, cada bloco cobre $N / f_{s} \approx 46$ ms de som, tempo suficiente para conter vários ciclos mesmo das notas mais graves do trompete.

Por que isso importa? Um som periódico obedece $x (t) = x (t + T)$ , em que $T$ é o período (segundos por ciclo). A frequência é só o seu inverso: $f = \frac{1}{T}$ . Achar a nota é achar o período.

2. Frequência e período, na prática

A onda mais simples é a senoide $x (t) = \sin (2 π f t)$ . Lendo a fórmula em palavras: o valor oscila entre −1 e +1, e o termo $2 π f$ diz quão rápido. Quanto maior $f$ , mais ciclos por segundo. O período é o tempo de um ciclo, $T = \frac{1}{f}$ . Por exemplo, um Lá de 440 Hz tem $T = 1 / 440 \approx 2,3$ ms por ciclo.

No experimento abaixo, a janela de tempo é fixa em 20 ms, como a tela de um osciloscópio. Por isso, ao aumentar a frequência, mais ciclos se espremem na tela e a faixa destacada, que marca um período, encolhe. Ao diminuir, acontece o contrário. Mexa e veja:

Frequência220 Hz

Período T = 4,55 ms · nota ≈ Lá3 · 4,4 ciclos em 20 ms

3. Medindo o quanto a onda se parece consigo mesma

O sinal é a lista de amostras $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ A ideia central do MPM é que um som afinado se repete. Então, se eu pegar o sinal e uma cópia dele deslocada por uma certa quantidade de amostras, as duas versões ficam quase idênticas exatamente quando o deslocamento for igual a um período. Achar o período é achar esse deslocamento.

Antes das fórmulas, o que cada símbolo significa:

$x_{j}$ : o valor da j-ésima amostra (a altura da onda naquele instante, entre −1 e +1).
$j$ : o índice da amostra (0, 1, 2, …), a posição no tempo.
$τ$ (tau): o deslocamento em amostras entre a onda e a cópia. É o que estamos procurando; em inglês, lag.
$x_{j + τ}$ : a amostra $τ$ posições à frente de $x_{j}$ , a "cópia deslocada".
$N$ : o tamanho do bloco (2048 amostras).

A primeira medida natural de quão diferentes a onda e sua cópia estão é a função de diferença quadrática (SDF, na sigla em inglês). Para cada amostra, calculamos a diferença $x_{j} - x_{j + τ}$ , elevamos ao quadrado e somamos tudo:

d^{'} (τ) = \sum_{j = 0}^{N - 1 - τ} {(x_{j} - x_{j + τ})}^{2}

Por que elevar ao quadrado? Por dois motivos. O quadrado torna toda diferença positiva (tanto faz se a cópia está acima ou abaixo: o desencaixe conta como erro de qualquer jeito) e penaliza mais os desencaixes grandes. Assim, $d^{'} (τ)$ é sempre maior ou igual a zero e funciona como um placar de erro: quanto menor, melhor o encaixe.

E por que a soma vai de $j = 0$ só até $N - 1 - τ$ , e não até $N - 1$ ? Porque $x_{j + τ}$ precisa existir: se $j + τ$ passasse do fim do bloco, não haveria amostra para comparar. Consequência importante: quanto maior o deslocamento $τ$ , menos pares sobram para somar (apenas $N - τ$ deles). Guarde isto, porque vai voltar já já.

Quando $τ$ chega ao período, cada $x_{j}$ encontra um $x_{j + τ}$ quase igual, as diferenças vão a zero e $d^{'} (τ) \approx 0$ , formando um "vale". Para passar da ideia de diferença para a de semelhança, abrimos o quadrado ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ em cada termo da soma. Surgem três pedaços, e o terceiro é o mais importante, a autocorrelação $r^{'} (τ)$ :

\begin{matrix} d^{'} (τ) = & \sum_{j} x_{j}^{2} + \sum_{j} x_{j + τ}^{2} \\ - 2 \sum_{j} x_{j} x_{j + τ} \end{matrix}

com r^{'} (τ) = \sum_{j = 0}^{N - 1 - τ} x_{j} x_{j + τ}

Olhe os três pedaços. Os dois primeiros, $\sum_{j} x_{j}^{2}$ e $\sum_{j} x_{j + τ}^{2}$ , são a energia dos dois trechos (a soma dos quadrados das amostras): variam devagar e de forma parecida entre si. Toda a ação está no terceiro, $r^{'} (τ) = \sum_{j} x_{j} x_{j + τ}$ . Como ele entra com sinal negativo na diferença, deixar $d^{'} (τ)$ pequeno é o mesmo que deixar $r^{'} (τ)$ grande. Ou seja: menor diferença ⟺ maior autocorrelação.

Por que a autocorrelação cresce no encaixe? Ela multiplica cada amostra pela sua cópia. Dois números de mesmo sinal dão produto positivo (+×+ e −×−); de sinais opostos, produto negativo. Quando a cópia está alinhada, picos batem com picos e vales com vales: quase todos os produtos ficam positivos e a soma dispara. Desalinhada, ela mistura positivos e negativos que se cancelam, e a soma cai para perto de zero.

Mini-exemplo concreto. Pegue o trechinho $[1, - 1, 1, - 1]$ . Comparando com ele mesmo ( $τ = 0$ ): $1 \cdot 1 + (- 1) (- 1) + 1 \cdot 1 + (- 1) (- 1) = 4$ , tudo positivo. Deslocando 1 amostra, os pares ficam $1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = - 3$ : os sinais opostos se cancelam. Alinhado, grande; desalinhado, pequeno.

Essa autocorrelação "crua", porém, tem dois defeitos que impedem usá-la diretamente como medida de afinação:

Defeito 1: depende do volume. Toque a mesma nota mais forte e todas as amostras crescem na mesma proporção, digamos $x_{j} \to 2 x_{j}$ . Aí cada produto $x_{j} x_{j + τ}$ fica 4 vezes maior ( $2 \cdot 2 = 4$ ), e $r^{'} (τ)$ também. O número muda só porque o som está mais alto, mesmo com o encaixe idêntico. Uma boa medida de semelhança não deveria depender do volume.

Defeito 2: encolhe conforme $τ$ cresce. Lembra que a soma tem só $N - τ$ parcelas? Com $τ$ maior, há menos produtos sendo somados, então $r^{'} (τ)$ diminui sozinha, mesmo num som perfeitamente periódico. Resultado: o pico no dobro do período nasce menor que o do período, formando uma "ladeira" que pode esconder o pico certo ou favorecer um errado.

Os dois defeitos têm a mesma cura: normalizar, ou seja, dividir pela energia dos trechos comparados, para o resultado virar um número entre −1 e 1 que não depende do volume nem de $τ$ . É exatamente o que a NSDF faz, no próximo passo.

4. A NSDF: o coração do MPM

McLeod e Wyvill resolvem os dois defeitos dividindo a autocorrelação pela energia dos trechos comparados. Definindo

m^{'} (τ) = \sum_{j = 0}^{N - 1 - τ} (x_{j}^{2} + x_{j + τ}^{2})

obtemos a NSDF (normalized square difference function, ou função de diferença quadrática normalizada):

\begin{matrix} n^{'} (τ) = \frac{2 r^{'} (τ)}{m^{'} (τ)} \\ - 1 \leq n^{'} (τ) \leq 1 \end{matrix}

Dividir pela energia $m^{'} (τ)$ conserta os dois defeitos do passo anterior de uma só vez:

Volume: se o som dobra ( $x_{j} \to 2 x_{j}$ ), o numerador $2 r^{'} (τ)$ fica 4 vezes maior, mas a energia $m^{'} (τ)$ também, porque as duas são feitas de produtos das mesmas amostras. Os dois fatores se cancelam na divisão e o resultado não muda.
Encolhimento com $τ$ : numerador e denominador têm o mesmo número de parcelas ( $N - τ$ ). Quando $τ$ cresce e sobram menos termos, os dois encolhem juntos, na mesma proporção, então a razão entre eles continua justa.

O resultado é adimensional e fica sempre entre −1 e +1: $n^{'} (τ) = 1$ é o encaixe perfeito (cópia idêntica), $n^{'} (τ) = 0$ indica que não há relação e $n^{'} (τ) = - 1$ seria o oposto exato (onda espelhada).

Um aparte importante: o que são harmônicos? Uma senoide pura é o som mais "limpo" que existe (uma flauta chega perto). Mas quase todo instrumento real produz, ao mesmo tempo, a frequência fundamental $f_{0}$ e múltiplos inteiros dela: $2 f_{0}$ , $3 f_{0}$ , $4 f_{0}$ … Essas frequências extras são os harmônicos, e a "receita" deles (quais são fortes, quais são fracos) é o que dá o timbre, o que faz um trompete soar diferente de um clarinete tocando a mesma nota. O sinal vira uma soma de senoides:

\begin{matrix} x (t) = & \sin (2 π f_{0} t) \\ + a_{2} \sin (2 π \cdot 2 f_{0} t) \\ + a_{3} \sin (2 π \cdot 3 f_{0} t) + \dots \end{matrix}

Aqui $a_{2}$ , $a_{3}$ , … são as amplitudes de cada harmônico, a tal "receita": quanto maior $a_{k}$ , mais forte aquele harmônico soa (o fundamental entra com amplitude 1). É essa mistura que define o timbre.

O detalhe crucial: todos esses harmônicos compartilham o mesmo período $T = 1 / f_{0}$ , porque $2 f_{0}$ , $3 f_{0}$ … completam ciclos inteiros dentro de $T$ . Somá-los muda só o formato de cada período (a onda fica mais pontuda e cheia de detalhes), mas não muda o período. Por isso, a altura da nota continua sendo $f_{0}$ , não importa o timbre. No experimento, troque entre Senoide pura e Trompete: a forma da onda muda muito, mas os picos da NSDF ficam nos mesmos lugares.

"Então os picos repetidos são os harmônicos?" Não! Essa é a confusão clássica. Os picos da NSDF em $τ = P, 2 P, 3 P, \dots$ aparecem simplesmente porque um sinal que se repete a cada $P$ amostras também se repete a cada $2 P$ , $3 P$ …: deslocar a cópia por 2 períodos a realinha tão bem quanto por 1. A prova é que a senoide pura, sem harmônicos, tem exatamente os mesmos picos repetidos. Selecione Senoide pura e veja! Ou seja, os picos repetidos são o sinal se repetindo, não os harmônicos. É justamente isso que torna o passo 5 necessário: entre vários picos quase perfeitos, qual é o período fundamental (o primeiro), e não o dobro dele (uma oitava abaixo)?

Experimento: deslize a cópia e veja a NSDF

Em cima, a onda original (linha contínua) e a cópia deslocada por $τ$ (linha tracejada). Embaixo, a curva $n^{'} (τ)$ inteira, com guias no período e no seu dobro. Arraste $τ$ : ao chegar ao período, a cópia se sobrepõe à original e $n^{'}$ sobe para perto de 1; no dobro, sobe de novo. Troque o sinal: mudar os harmônicos muda o formato da onda, mas não a posição dos picos. Até a senoide pura tem os mesmos.

Onda original Cópia deslocada por τ

Curva n′(τ) τ atual

Atraso τ0

Sinaln′(τ) = 1,00

5. Escolha do pico certo

Do passo 4 saiu a curva $n^{'} (τ)$ inteira, cheia de picos. Agora precisamos escolher um: o que corresponde ao período fundamental. Não basta pegar o mais alto, e aqui está o porquê, em etapas (em inglês, essa escolha se chama peak picking):

Ignorar o pico trivial. Em $τ = 0$ , a onda é comparada com ela mesma, então $n^{'} (0) = 1$ sempre, o que não diz nada sobre o período. Pulamos esse primeiro "morro" da curva, até ela cruzar o zero pela primeira vez.
Achar os máximos-chave. A curva sobe e desce, cruzando o zero várias vezes. Entre uma subida que cruza o zero e a descida seguinte há uma "corcova", e o ponto mais alto de cada corcova é um máximo-chave. Olhar só para esses pontos evita confundir pequenas ondulações com picos de verdade.
Medir o mais alto de todos, $n_{\max}$ . Esse valor é também a clareza do som, de 0 a 1: perto de 1, a nota está bem definida; baixo, o som é ruidoso ou não existe. É com esse número que o afinador decide se há nota para mostrar, e é ele que aparece como "clareza" nas mensagens do afinador.
Escolher o primeiro pico bom o bastante. Definimos um limiar $k \cdot n_{\max}$ , com $k = 0,9$ , e pegamos, varrendo da esquerda para a direita, o primeiro máximo-chave que o ultrapassa, e não o mais alto.

Por que o primeiro, e não o mais alto? Lembre do passo 4: os picos se repetem em $τ = P, 2 P, 3 P, \dots$ e todos têm altura parecida. O pico em $2 P$ corresponde a um período duas vezes maior, ou seja, a uma frequência pela metade: uma oitava abaixo. Se pegássemos o mais alto e ele fosse o de $2 P$ , o afinador mostraria a nota uma oitava errada. O primeiro pico forte é sempre o período fundamental: o mais curto, a frequência mais alta, a nota certa.

Exemplo passo a passo, justamente o caso traiçoeiro. Suponha máximos-chave de altura 0,93 (em $τ = 150$ ), 0,97 (em $τ = 300$ ) e 0,90 (em $τ = 450$ ). O mais alto é o de $τ = 300$ , então $n_{\max} = 0,97$ e o limiar é $0,9 \cdot 0,97 = 0,873$ . Se pegássemos o mais alto, escolheríamos $τ = 300$ , o dobro do período e uma oitava abaixo: erro! Mas, varrendo da esquerda, o primeiro a passar de 0,873 é o de $τ = 150$ (0,93 ≥ 0,873), e paramos ali. Período de 150 amostras: o fundamental correto.

O $τ$ do pico escolhido é o nosso período, ainda em número inteiro de amostras. No próximo passo, refinamos isso para frações de amostra.

6. Precisão de subamostra: interpolação parabólica

A NSDF só é calculada em valores inteiros de $τ$ (amostra a amostra), mas o período real quase nunca cai exatamente sobre uma amostra: ele fica entre dois pontos. A 44,1 kHz, um Lá de 440 Hz tem período $τ = 44100 / 440 \approx 100,2$ amostras. Arredondar para 100 daria $44100 / 100 = 441$ Hz, cerca de 4 cents de erro só de arredondamento. Precisamos do pico com precisão de fração de amostra.

Por que justamente uma parábola? Dois fatos se encaixam:

Todo pico suave, visto de bem perto, é uma parábola. É o que diz a série de Taylor: perto de um máximo $x_{0}$ , a inclinação é zero, então $f (x) \approx f (x_{0}) + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{2}$ , que é a equação de uma parábola (com a boca para baixo, pois num máximo a curvatura $f^{''}$ é negativa).
Três pontos definem uma única parábola. A parábola $y = a x^{2} + b x + c$ tem 3 incógnitas, e temos 3 pontos: $τ - 1$ , $τ$ e $τ + 1$ . Existe uma e só uma, com fórmula fechada. Uma reta nem teria pico, e um grau maior poderia ondular e inventar picos falsos.

O vértice dessa parábola é o palpite refinado do pico. Chamando de $n_{- 1}$ , $n_{0}$ e $n_{+ 1}$ os três valores da NSDF, o vértice (em $x = - b / 2 a$ ) dá o deslocamento $δ$ :

δ = \frac{1}{2} \cdot \frac{n_{- 1} - n_{+ 1}}{n_{- 1} - 2 n_{0} + n_{+ 1}}

τ^{⋆} = τ + δ

A fórmula conta uma história. O denominador $n_{- 1} - 2 n_{0} + n_{+ 1}$ é a curvatura, o quão pontudo é o pico. O numerador $n_{- 1} - n_{+ 1}$ mede a assimetria: se o vizinho da esquerda é mais alto, o pico real puxa para a esquerda ( $δ < 0$ ); se os vizinhos são iguais, $δ = 0$ e o pico cai bem na amostra.

O $δ$ é uma fração de amostra, entre −0,5 e +0,5. Aí a frequência sai direto:

f = \frac{f_{s}}{τ^{⋆}}

A interpolação em ação

A curva real tem o pico num ponto fracionário (linha vertical tracejada), mas só medimos os 3 pontos inteiros em volta. A parábola ajustada passa por esses 3 pontos, e o vértice dela é a estimativa. Arraste o período real: repare como o vértice acompanha o valor verdadeiro, enquanto só arredondar erraria.

Curva real Pontos medidos Parábola ajustada Pico real Estimativa (vértice)

Período real100,27

pico na amostra inteira τ = 100correção da parábola δ = +0,27estimativa τ⋆ = τ + δ = 100,27 → f = 439,8 Hz só arredondando daria 441,0 Hz, erro de ~5 cents

Exemplo numérico: com $f_{s} = 44100$ Hz, se o pico está em $τ = 100$ e a parábola dá $δ = - 0,18$ , então $τ^{⋆} = 99,82$ e $f = 44100 / 99,82 \approx 441,8$ Hz. Sem o $δ$ , daria 441,0 Hz, uma diferença de cerca de 3 cents.

7. Da frequência à nota e aos cents

No temperamento igual, a oitava (dobrar a frequência) é dividida em 12 semitons iguais, em escala logarítmica. Partindo do Lá4 de referência $f_{ref}$ , que você ajusta no controle Referência do afinador (440 Hz, 442 Hz…), a frequência da nota a $n$ semitons de distância é:

f (n) = f_{ref} \cdot 2^{n / 12}

Invertendo com logaritmo na base 2, descobrimos a quantos semitons a nossa frequência está:

n = 12 \log_{2} (\frac{f}{f_{ref}})

Arredondando $n$ , achamos a nota mais próxima. O que sobra, multiplicado por 100, é o desvio em cents (100 cents = 1 semitom):

\begin{matrix} cents & = (n - round (n)) \cdot 100 \\ = 1200 \log_{2} (\frac{f}{f_{mais próxima}}) \end{matrix}

Calculadora: frequência → nota

Digite uma frequência e a referência para ver a fórmula sendo calculada e a nota resultante. Experimente 446 Hz com referência de 440 Hz: dá Lá4, +23 cents.

FrequênciaHz

ReferênciaHz

n = 12 · log₂(446,0 / 440) = 0,234 semitonsnota mais próxima: Lá4desvio: +23 cents (alto)

Trompete em Si♭ (transposição): ao ler um Dó escrito, o instrumento soa um Si♭ de concerto, 2 semitons abaixo. Para mostrar o nome da nota escrita, somamos um deslocamento inteiro ao índice da nota, $n + 2$ . Como é um número inteiro de semitons, o desvio em cents não muda. Só muda o nome da nota.

8. Estabilidade: mediana e filtro exponencial

A análise roda cerca de 60 vezes por segundo, e cada leitura tem um pequeno erro aleatório: a frequência estimada "treme" alguns décimos de Hz a cada quadro. Ligar a agulha direto nisso a deixaria vibrando. Por isso, aplico dois filtros em sequência, cada um resolvendo um problema diferente.

Primeiro filtro, a mediana: elimina as leituras fora da curva. Guardo as últimas 7 frequências e uso a mediana delas, o valor do meio depois de ordenar a lista. A mediana é imune a um valor absurdo isolado, coisa que a média comum não é.

Mediana ou média, na prática. Suponha as leituras $[440, 441, 439, 880, 440]$ , em que 880 é uma leitura errada (um salto de oitava em um quadro). A média daria $(440 + 441 + 439 + 880 + 440) / 5 = 528$ Hz, puxada pelo erro. Já a mediana (ordenando: 439, 440, 440, 441, 880) é 440 Hz: a leitura errada vira só "a maior da lista" e é descartada. A janela é ímpar (7) justamente para sempre haver um elemento exatamente no meio.

Segundo filtro, a média móvel exponencial: alisa o tremor que resta. Este é aplicado já à posição da agulha, o desvio em cents. Em vez de saltar para a leitura nova, misturo uma fração $α$ dela com o valor que já estava na tela:

\begin{matrix} s_{t} = α \cdot x_{t} + (1 - α) \cdot s_{t - 1} \\ α = 0,12 \end{matrix}

Lendo a fórmula: o novo valor exibido $s_{t}$ é $α = 0,12$ (12%) da leitura nova $x_{t}$ somado a 88% do valor anterior $s_{t - 1}$ . Isso é um filtro passa-baixas: deixa passar mudanças lentas (você realmente subindo a nota) e barra as rápidas (o tremor de um quadro para o outro). Como cada leitura empurra a agulha só 12% rumo ao novo valor, ela leva cerca de $1 / α \approx 8$ quadros (uns 130 ms) para assentar: rápido para o olho e lento o bastante para não tremer.

Quando a nota muda, a média recomeça. Sem isso, ao passar de +49 cents numa nota para −49 cents na seguinte, a agulha atravessaria o "afinado" no caminho.

O compromisso do $α$ : um valor menor (por exemplo, 0,05) deixa a agulha mais calma, porém mais lenta para reagir; um maior (por exemplo, 0,30) a deixa mais responsiva, porém mais nervosa. O 0,12 é um meio-termo confortável, e foi exatamente a esse número que cheguei quando a agulha estava nervosa demais.

Juntando tudo

Esse é o caminho completo, repetido cerca de 60 vezes por segundo: o microfone vira amostras $x [n]$ (passos 1 e 2); a NSDF mede o quanto a onda se parece com uma cópia deslocada dela mesma (passos 3 e 4); a escolha do pico encontra o período fundamental, fugindo do erro de oitava (passo 5); a parábola refina o período para frações de amostra (passo 6); a frequência vira nome de nota e cents (passo 7); e a mediana com o filtro exponencial deixa a agulha estável (passo 8). Do ar à nota afinada, em poucos milissegundos.

Referência

Philip McLeod e Geoff Wyvill, A Smarter Way to Find Pitch, Proceedings of the International Computer Music Conference (ICMC), 2005.